Ein Trainer für alles

Für Lehrpersonen: Was der Trainer tut, warum er das Gegenteil der Aufgabenhilfe ist und sie gerade deshalb ergänzt, wann Sie welche der beiden Funktionen nehmen, und warum er bei einem Fehler die Darstellung wechselt statt dieselbe Erklärung zu wiederholen.

1. Die zweite Funktion, und warum sie umgekehrt gebaut ist

Die Aufgabenhilfe setzt voraus, dass eine Aufgabe schon da ist und dass das Kind den Rechenschritt behalten soll. Deshalb hält sie zurück: Sie gibt gestufte Hilfen nach Zech (2002), immer nur die nächste Stufe, und die Lehrperson setzt eine Obergrenze. Das Zurückhalten ist dort der Kern der Sache.

Der Trainer setzt das Gegenteil voraus: Das Thema fehlt. Zurückhalten wäre hier nicht streng, sondern sinnlos – man kann niemandem etwas vorenthalten, das er noch nicht hat. Der Trainer ist ein Nachhilfelehrer für ein Thema, das die lernende Person selbst nennt, und er hält nichts zurück. Er erklärt, er zeigt, und er rechnet vor, wenn es dem Aufbau dient.

Das Thema wird frei formuliert, in eigenen Worten und ohne Auswahlliste. Ein typischer Einstieg lautet: „Ich möchte etwas zur Maßumwandlung und zu Längenmaßen lernen.“

Die Aufgabenhilfe begrenzt, wie viel verraten wird. Der Trainer begrenzt, wie viel auf einmal kommt. Beide haben eine Grenze, aber sie liegt an einer anderen Stelle. Ein Trainer ohne diese zweite Grenze ist keine Nachhilfe, sondern ein Vortrag mit Eingabefeld.

2. Wann Sie welche Funktion nehmen

Aufgabenhilfe – wenn eine konkrete Aufgabe vorliegt

Das Kind hat eine Aufgabe vor sich, im Heft, im Schulbuch oder als Foto, und es geht darum, dass es den Denk- und Rechenschritt selbst tut und behält. Hier ist jede vorweggenommene Erklärung ein Verlust. Die Aufgabenhilfe ist die Funktion für Übungsphasen, für Hausaufgaben und für die Stunde, in der ein bestimmtes Verfahren sitzen soll.

Trainer – wenn ein Thema fehlt und aufgebaut werden muss

Das Kind kommt nicht mit einer Aufgabe, sondern mit einer Lücke: Es weiß nicht, wie Längenmaße zusammenhängen, es war krank, es hat den Einstieg verpasst, oder es möchte etwas vorziehen. Hier gibt es keinen Rechenschritt, den man schützen könnte. Es gibt etwas aufzubauen, und das braucht Erklärung, Beispiele und Nachfragen.

Die Unterscheidung in vier Punkten:

Ausgangspunkt. Aufgabenhilfe: eine Aufgabe. Trainer: ein Thema.
Haltung zur Lösung. Aufgabenhilfe: hält sie zurück, bis zur eingestellten Obergrenze. Trainer: hält nichts zurück.
Was die Anwendung steuert. Aufgabenhilfe: die Hilfestufe. Trainer: den Lernabschnitt und die Portionsgröße.
Ende. Aufgabenhilfe: die Aufgabe ist gelöst, oder die Stufen sind aus. Trainer: eine Prüfung ist bestanden, oder es ist benannt, was noch nicht sitzt.

Ein Grenzfall, der in der Erprobung vorkommen wird: Ein Kind nennt seine Hausaufgabe als „Thema“. Dann ist der Trainer die falsche Funktion, denn er würde die Aufgabe erklären, die das Kind selbst lösen soll. Dafür ist die Aufgabenhilfe da.

3. Der Ablauf, den die Anwendung führt

Der Trainer arbeitet in sechs Abschnitten. Die Reihenfolge liegt in der Anwendung, nicht im Auftrag an das Sprachmodell. Das ist derselbe Grundsatz wie bei den Hilfestufen: Ein Systemprompt ist eine Bitte, keine Grenze. Zu jedem Abschnitt steht deshalb nicht nur, was er tut, sondern auch, was die Anwendung erzwingt.

Die Sprachebene richtet sich nach der Altersklasse der Sitzung, und zwar nach derselben Festlegung, die auch die Aufgabenhilfe verwendet. Beide Funktionen sprechen ein Kind im Volksschulalter also gleich an.

Thema. Die lernende Person schreibt in eigenen Worten, was sie lernen möchte. Der Trainer fasst in einem Satz zusammen, was er verstanden hat, und fragt zurück, ob das so passt. Das kostet einen Zug und verhindert den häufigsten Leerlauf: einen vollständigen Lernweg zum falschen Thema. „Du möchtest Längenmaße kennenlernen und üben, wie man Meter in Zentimeter umrechnet und zurück. Passt das so, oder meinst du etwas anderes?“ Was die Anwendung erzwingt: Die Zusammenfassung ist ein eigener Zug. Erklärt wird erst, nachdem darauf geantwortet wurde; ist das Thema unklar, fragt der Trainer genauer nach.
Einführung. Zwei bis vier Sätze dazu, worum es geht und wofür man das braucht. Kein Vortrag, keine Übersicht über das ganze Gebiet. Die Einführung endet mit einer Frage, die das Kind beantworten kann, ohne das Thema schon zu kennen. „Längenmaße sind Maße für ‚wie lang‘ und ‚wie weit‘: Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer. Man braucht sie, sobald etwas gemessen wird. Welches Maß würdest du nehmen, um dein Federpennal zu messen?“ Was die Anwendung erzwingt: begrenzte Länge, und der letzte Satz ist eine Frage.
Lernschritte. Das Thema wird in kleine Schritte zerlegt. Jeder Schritt bringt eine neue Sache und endet mit genau einer Frage, die beantwortet werden muss. Ohne Antwort gibt es den nächsten Schritt nicht. Nach einer festgelegten Zahl gelungener Schritte – derzeit vier – geht es in die Prüfung. „In einem Meter sind 100 Zentimeter. Wie viele Zentimeter sind dann 2 Meter?“ Was die Anwendung erzwingt: eine Frage pro Zug, nicht drei; höchstens vier Sätze vor der Frage; und kein Weitergehen ohne eigenen Beitrag.
Prüfung. Mehrere Aufgaben mit steigender Schwierigkeit – wie viele, legt die Anwendung fest, derzeit vier. Sie kommen einzeln und nicht als Liste, damit jede Aufgabe eine eigene Antwort bekommt und ein Fehler nicht erst am Ende auffällt. Vor der Aufgabe steht keine Erklärung: Hier wartet der Trainer. Erst „Wie viele Zentimeter sind 3 Meter?“, nach der Antwort „Wie viele Meter sind 450 Zentimeter?“, danach „Was ist länger: 1200 Millimeter oder 1 Meter?“ Was die Anwendung erzwingt: Anzahl und Reihenfolge der Aufgaben, eine Antwort je Aufgabe, und keine vorweggenommene Lösung. Das ist die einzige Stelle, an der der Trainer etwas zurückhält.
Schleife. Geht eine Aufgabe nicht auf, führt der Weg zurück in die Erklärung – und zwar auf eine andere Darstellungsebene, nicht in dieselben Worte. Der Schritt wird kleiner als vorher, danach wird erneut geprüft. Ein Fehler ist in diesem Ablauf der Normalfall und nicht das Scheitern. „Nimm einmal ein Meterband. Wie groß bist du? Und wie viele Zentimeter sind das?“ Was die Anwendung erzwingt: Über den Rücksprung entscheidet die Anwendung, nicht das Modell; die Wiederholung bekommt eine andere Ebene als der gescheiterte Versuch, und die schon versuchten Zugänge werden mitgeführt. Die Schleife ist begrenzt – derzeit auf drei Versuche bei derselben Sache. Wer viermal an derselben Hürde steht, hört auf.
Abschluss. Eine kurze Rückmeldung: was sitzt und was noch nicht. Das Offene wird benannt und nicht weggelobt – sonst ist der Abschluss für die nächste Stunde wertlos. „Meter in Zentimeter kannst du sicher. Von Zentimeter zurück auf Meter warst du zweimal unsicher – üb das nächste Mal zuerst 450 cm in Meter.“ Was die Anwendung erzwingt: Die Rückmeldung nennt beides, das Sichere und das Offene, und dazu eine konkrete Sache zum Weiterüben. Am Schluss steht keine Frage mehr – es ist vorbei.

4. Bei einem Fehler wechselt die Darstellung, nicht die Lautstärke

Ein Sprachmodell, das nicht verstanden wird, reagiert verlässlich gleich: Es wiederholt, mit mehr Worten und freundlicher. Das hilft nicht, denn die Worte waren das Problem. Der Trainer wiederholt deshalb nicht dieselbe Erklärung, sondern wechselt die Ebene, auf der das Thema dargestellt ist. Für die Maßumwandlung sind das drei Ebenen:

Gegenständlich (enaktiv). Etwas, das man anfassen und tun kann: ein Meterband in die Hand nehmen, die eigene Körpergröße messen, einen Meter im Zimmer abschreiten. „Wie groß bist du? Und steht diese Zahl in Zentimetern oder in Metern?“
Bildlich (ikonisch). Ein Bild, das die Struktur zeigt: die Stellenwerttafel mit den Spalten m, dm, cm, mm, in der die Ziffer wandert, oder ein gezeichneter Meterstab mit seinen Markierungen. „Schreib die 2 in die Spalte m. Wie viele Spalten weiter rechts steht cm – und was steht dann dort?“
Symbolisch. Die Umrechnungszahl und die Regel: 1 m = 100 cm, von Meter zu Zentimeter mal 100, zurück geteilt durch 100. „3 m sind 3 · 100 = 300 cm.“

Diese drei Ebenen sind Bruners Repräsentationsmodell. Bruner (1966; deutsch 1974) beschreibt enactive, iconic und symbolic representation als Formen, in denen Wissen dargestellt sein kann, und als Grundlage dafür, wie Unterricht einen Gegenstand aufbaut. In der deutschsprachigen Didaktik ist daraus die Kurzform „E-I-S-Prinzip“ geworden; die drei englischen Begriffe sind Bruners eigene, die Abkürzung ist es nicht.

Dass ein Wechsel zwischen Darstellungen keine Verpackungsfrage ist, sondern selbst etwas, das gelernt werden muss, hat Duval (2006) für die Mathematik ausgearbeitet: Der Übergang von einer Darstellung in eine andere ist eine eigene Leistung. Das hat eine praktische Folge für die Rückmeldung an Sie. Ein Kind, das mit der Stellenwerttafel richtig arbeitet und mit der Umrechnungszahl nicht, hat nicht „das Thema nicht verstanden“ – ihm fehlt der Übergang zwischen zwei Darstellungen. Das ist ein anderer Befund, und er führt zu einer anderen Übung.

Der Weg geht in beide Richtungen, und das ist der eigentliche Punkt. Ein Lauf beginnt gegenständlich. Sitzt ein Schritt, rückt die Erklärung eine Ebene weiter nach oben, bis die Regel selbst dasteht – das ist der Aufbau. Geht ein Schritt nicht auf, rückt sie eine Ebene zurück – das ist die Schleife. War die Antwort nur halb richtig, bleibt die Ebene und der Schritt wird kleiner; erst ein klares „nicht verstanden“ führt eine Ebene hinunter.

Die Anwendung führt mit, welche Ebenen bereits versucht wurden, und verlangt für die Wiederholung eine andere. Ohne diese Buchführung kommt dieselbe Erklärung zurück, nur länger.

Eine Einschränkung, die dazugehört: Bruner beschreibt die drei Formen als Entwicklungsfolge und als Aufbauprinzip für Unterricht, nicht als Regel für den Umgang mit Fehlern. Die Regel „bei einem Fehler eine Ebene tiefer“ ist daraus abgeleitet. Sie ist eine Entscheidung dieser Anwendung und steht so nicht bei Bruner.

5. Eine Frage pro Zug

Der häufigste Fehler eines Sprachmodells in der Rolle des Nachhilfelehrers ist nicht fachlich. Er ist eine Frage der Menge: Das Modell erklärt gründlich und stellt zum Schluss drei Fragen auf einmal. Das wirkt sorgfältig und ist für ein Kind eine Wand. Wer drei Fragen bekommt, muss drei offene Fäden im Kopf halten, während er an einem arbeitet.

Sweller (1988) hat für das Problemlösen gezeigt, dass Belastung, die dem Lernziel nicht dient, genau jene Kapazität wegnimmt, die für das Lernen selbst gebraucht wird. Drei gleichzeitige Fragen sind eine solche Belastung: Sie gehören nicht zur Sache, sondern zur Verwaltung des Gesprächs.

Aus der Unterrichtsforschung kommt der zweite Teil des Arguments. Rowe (1974) hat ausgezählt, wie lange Lehrpersonen nach einer Frage warten – im Schnitt etwa eine Sekunde – und was sich ändert, wenn diese Wartezeit auf drei bis fünf Sekunden verlängert wird: Die Antworten werden länger, es antworten mehr Kinder überhaupt, und es antworten auch die langsameren. Sie hat das später als Empfehlung für die Unterrichtspraxis zusammengefasst (Rowe 1986).

Hier ist Redlichkeit angebracht: Ein geschriebenes Gespräch hat keine Wartezeit in Rowes Sinn. Niemand drängt, das Kind kann sich beliebig viel Zeit nehmen, und damit ist der gemessene Effekt nicht einfach übertragen. Übertragbar ist der Gedanke dahinter: Eine Frage, die allein stehen bleibt, bekommt eine eigenständige Antwort; eine Frage, die von der nächsten überholt wird, bekommt keine. In einem Chat überholt nicht die Uhr, sondern die zweite Frage.

Dass Zurückhaltung beim Erklären dem Lernen nützt, ist für menschliche Nachhilfe untersucht: Chi u. a. (2001) fanden, dass Lernende mehr mitnehmen, wenn die Tutorin ihre Erklärungen zurückhält und die Lernenden ihre Antwort selbst formulieren. Das ist zugleich der Grund, warum die Einführung in Abschnitt 3 auf zwei bis vier Sätze begrenzt ist.

Die Regel lautet deshalb nicht „stelle wenige Fragen“, sondern: genau eine, und dann ist das Kind dran.

Im Auftrag an das Modell steht diese Regel an erster Stelle, und weil ein Auftrag eine Bitte ist, steht sie zusätzlich in der Anwendung. Das Modell muss Text und Frage getrennt zurückgeben; die Frage ist ein eigenes Feld. Die Anwendung schneidet dieses Feld hinter dem ersten Fragezeichen ab. Wer zwei Fragen stellt, stellt damit eine.

6. Das Modell urteilt, die Anwendung entscheidet

Ein Zug des Trainers besteht aus zwei Aufrufen des Modells, und dazwischen entscheidet die Anwendung. Das Urteil über eine Antwort kommt also vom Modell – was daraus folgt, nicht.

Das Urteil. Das Modell bekommt nur die gestellte Frage und die Antwort darauf und gibt ein strukturiertes Urteil zurück: verstanden, teilweise verstanden oder nicht verstanden, dazu in zwei bis vier Worten, woran es gehapert hat. Dieser Aufruf unterrichtet nicht, er erklärt nichts und er beantwortet die Frage nicht. Er ist kurz und kostet entsprechend wenig.
Die Entscheidung. Sie fällt in der Anwendung, nicht im Modell: weitergehen, auf einer anderen Ebene wiederholen, prüfen oder abschließen. Erst damit steht fest, welchen Auftrag der zweite Aufruf bekommt.
Der Text. Jetzt formuliert das Modell – mit dem Zustand, der Darstellungsebene und dem Hinweis, woran es gehapert hat, als Auftrag.

In einem einzigen Aufruf ist das nicht zu haben. Das Urteil über die Antwort, die gerade gekommen ist, käme dann gemeinsam mit dem nächsten Erklärtext zurück – die Entscheidung müsste also vorher fallen. Der Trainer würde eine Runde zu spät merken, dass jemand nicht mitkommt. Der zweite Aufruf ist der Preis dafür, dass er es rechtzeitig merkt.

Drei Gründe, warum die Entscheidung nicht beim Modell liegt.

Ein Modell, das sich selbst beurteilt, urteilt freundlich. Dass Sprachmodelle dazu neigen, zuzustimmen und zu loben, weil solche Antworten im Training bevorzugt wurden, ist untersucht (Sharma u. a. 2023). Für einen Trainer ist das nicht bloß ein Schönheitsfehler: Wer bei „teilweise verstanden“ „Super, weiter so!“ schreibt, hat die Schleife aus Abschnitt 3 aufgehoben. Dass der erste Aufruf ausdrücklich nicht unterrichtet, gehört zu diesem Punkt: Er beurteilt nicht seine eigene Erklärung, sondern eine Antwort.
Ein Urteil in Prosa ist kein Zustand. Was nur im Text steht, müsste die Anwendung erraten. Ein erratener Zustand ist keiner. Deshalb steht das Urteil in einem eigenen Feld mit drei möglichen Werten. Kommt etwas anderes zurück oder nichts Lesbares, gilt „teilweise“ – die Annahme, die am wenigsten Schaden anrichtet: Sie schiebt niemanden weiter, der nicht mitkommt, und hält niemanden auf, der es verstanden hat, denn im nächsten Zug wird ohnehin neu geurteilt.
Dasselbe Prinzip trägt bereits die Aufgabenhilfe. Dort prüft die Anwendung die Antwort des Modells, bevor das Kind sie sieht. Der Anlass war konkret: Auf eine Aufgabe zu Packungen mit je acht Stiften lieferte die erste Hilfestufe die Lösung als Zählreihe, obwohl der Auftrag genau das verbot. Ein Systemprompt ist eine Bitte. Die Grenze gehört in den Server.

Der zweite Teil des Urteils – woran es gehapert hat – macht die Schleife brauchbar. Erst er macht aus „falsch“ eine Auskunft darüber, welche Erklärung als nächste sinnvoll ist, und er geht als Auftrag in den zweiten Aufruf: Geh genau darauf ein. Dass Fehler im Mathematikunterricht weitgehend nicht zufällig sind, sondern Mustern folgen, die sich ordnen lassen, hat Radatz (1980) für den deutschsprachigen Raum ausgearbeitet; das ist der Grund, warum diese Angabe überhaupt etwas wert ist.

Hier ist eine Einschränkung nötig, damit Sie den Wert dieser Angabe richtig einschätzen. Der Trainer arbeitet nicht mit einer festen Fehlerklassifikation. Das Urteil selbst hat drei feste Werte, die Angabe zum Fehler ist ein kurzer, frei formulierter Vermerk von wenigen Worten. Sie steuert die nächste Erklärung und ist keine Einordnung des Kindes in eine Kategorie. Wer aus solchen Vermerken eine Fehlerstatistik bauen möchte, braucht zuerst eine vorgegebene Liste; die gibt es noch nicht.

7. Warum am Ende geprüft wird

Die Prüfung aus Abschnitt 3 ist keine Leistungsbeurteilung, sondern Teil des Lernens. Roediger und Karpicke (2006) haben gezeigt, dass das Abrufen von Gelerntem die Behaltensleistung stärker stützt als erneutes Durchlesen, und dass sich der Unterschied erst nach einiger Zeit zeigt – unmittelbar danach schneidet das Wiederholen sogar besser ab. Eine Prüfung gehört also nicht als Bericht an das Ende, sondern als Arbeitsschritt in den Lernweg.

Ihre Untersuchungen betrafen Prosatexte mit Erwachsenen, nicht die Maßumwandlung mit Zehnjährigen. Der Befund gilt als gut abgesichert; die Übertragung auf diesen Fall bleibt eine Übertragung.

Die steigende Schwierigkeit hat einen zweiten Zweck: Sie macht sichtbar, wo die Grenze liegt. Jede Aufgabe soll etwas schwerer sein als die vorige. Wer alle ohne Zögern löst, war bei diesem Thema unterfordert – auch das ist eine Auskunft, und sie steht in der Rückmeldung am Schluss.

Geht eine Prüfaufgabe nicht auf, endet die Prüfung nicht. Der Weg führt zurück in einen Lernschritt auf einer anderen Darstellungsebene, und danach wird weiter geprüft. Auch das ist begrenzt: Nach einer festgelegten Zahl von Anläufen geht es weiter, auch wenn die Sache nicht sitzt. Dann steht sie am Schluss unter dem, was noch offen ist – das ist ehrlicher, als jemanden in derselben Hürde zu lassen.

8. Sprachausgabe

Der Text des Trainers kann vorgelesen werden. Vorgelesen wird ausschließlich der Text des Trainers samt seiner einen Frage – die Frage gehört dazu, denn wer sich vorlesen lässt, braucht genau sie, um antworten zu können. Die eigene Antwort wird nicht vorgelesen: Die kennt man schon, und sie noch einmal zu hören hält nur auf.

Gelesen wird über die Sprachausgabe des Geräts – mit einer Stimme, die im Handy oder im Rechner ohnehin eingerichtet ist. Gesucht wird eine deutsche Stimme, eine österreichische zuerst, und danach mit Vorrang eine, die im Gerät selbst rechnet: Die schickt die Sätze nirgendwohin, und das ist der Punkt. Es wird also keine Stimme erzeugt und nichts an einen Dienst geschickt.

Die andere Richtung bleibt, wie sie in der Aufgabenhilfe ist: Wenn die lernende Person spricht, geht die Aufnahme an die Spracherkennung auf demselben Rechner der Hochschule und kommt als Text zurück. Die Stimme geht an keinen Anbieter, und die Tonaufnahme selbst wird nicht gespeichert; behalten wird nur der erkannte Text, der im Eingabefeld steht und dort geändert werden kann.

Was dabei ehrlich dazugehört:

Wie gut vorgelesen wird, hängt am Gerät und nicht an der Anwendung. Die Stimmen unterscheiden sich zwischen Geräten deutlich. Ist auf einem Gerät überhaupt keine deutsche Stimme eingerichtet, erscheint der Knopf nicht – das ist ehrlicher als ein Knopf, der nichts tut oder englisch liest.
Der Trainer gibt Fließtext aus. Zahlen, Rechenzeichen und Einheiten liest eine Gerätestimme nicht immer so, wie sie gemeint sind. Eine mathematische Auszeichnung, die eine Vorlesestimme gezielt auswerten könnte, ist nicht umgesetzt.
Ein Zug des Trainers erscheint als Ganzes und nicht Wort für Wort. Er wird deshalb vorgelesen, sobald er da ist. Lange Züge werden dafür in Stücke zerlegt und der Reihe nach gesprochen: Manche Browser brechen eine einzelne lange Äußerung nach wenigen Sekunden ab. Geschnitten wird an einem Satzende.
Ob vorgelesen wird, bleibt auf dem Gerät gemerkt, damit die Einstellung nicht bei jedem Zug neu getroffen werden muss. Gelesen wird etwas langsamer als normal, damit man mitdenken kann.

9. Was der Trainer nicht ist

Kein Lehrplan. Er folgt dem genannten Thema, nicht einer Stoffreihenfolge. Ob das Thema zum Stand der Klasse passt, beurteilen Sie.
Keine Leistungsbeurteilung. Die Prüfung dient dem Lernen. Sie ergibt keine Note und ersetzt keine Rückmeldung von Ihnen.
Keine Diagnose. „Teilweise verstanden“ ist ein Urteil über eine Antwort in einem Gespräch, nicht über ein Kind. Wer daraus einen Förderbedarf ableitet, überdehnt die Auskunft.
Kein fachlicher Garant. Ein Sprachmodell kann sachlich irren, und es irrt zuversichtlich. Bei einem Thema, das Sie nicht selbst überblicken, ist der Trainer keine Prüfinstanz.
Keine Aufgabenhilfe. Er hält nichts zurück. Für eine Aufgabe, die das Kind selbst lösen soll, ist er das falsche Werkzeug.

10. Offene Fragen für die Erprobung

Das ModLearn Technology Lab erprobt diese Funktion, es liegen dazu noch keine eigenen Ergebnisse vor. Untersucht werden sollen unter anderem:

Nennen Kinder ein Thema so, dass der Trainer damit arbeiten kann – oder ist der erste Abschnitt die eigentliche Hürde?
Wie oft greift die Schleife, und hilft der Wechsel der Darstellungsebene tatsächlich, oder brechen Kinder vorher ab?
Stimmt das Urteil des Modells mit dem überein, was eine Lehrperson in derselben Antwort sieht?
Nehmen Lehrpersonen die beiden Funktionen so, wie hier unterschieden, oder setzen sie den Trainer für Aufgaben ein?
Wird die Sprachausgabe benutzt, von wem, und ändert sie etwas an der Länge der Antworten?

Literatur

Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press.
Bruner, J. S. (1974). Entwurf einer Unterrichtstheorie (übersetzt von A. Harttung). Berlin: Berlin-Verlag; Düsseldorf: Pädagogischer Verlag Schwann. [Deutsche Ausgabe von Bruner 1966.]
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1–2), 103–131.
Sweller, J. (1988). Cognitive load during problem solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12(2), 257–285.
Rowe, M. B. (1974). Wait-time and rewards as instructional variables, their influence on language, logic, and fate control: Part one – wait-time. Journal of Research in Science Teaching, 11(2), 81–94.
Rowe, M. B. (1986). Wait time: Slowing down may be a way of speeding up! Journal of Teacher Education, 37(1), 43–50.
Chi, M. T. H., Siler, S. A., Jeong, H., Yamauchi, T. & Hausmann, R. G. (2001). Learning from human tutoring. Cognitive Science, 25(4), 471–533.
Radatz, H. (1980). Fehleranalysen im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg.
Roediger, H. L. & Karpicke, J. D. (2006). Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention. Psychological Science, 17(3), 249–255.
Sharma, M., Tong, M., Korbak, T., Duvenaud, D. u. a. (2023). Towards Understanding Sycophancy in Language Models. arXiv:2310.13548 [Preprint].
Zech, F. (2002). Grundkurs Mathematikdidaktik. Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik (10. Aufl.). Weinheim: Beltz.
Krauthausen, G. (2018). Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule (4. Aufl.). Berlin: Springer Spektrum. [Deutschsprachige Einführung, zur Einordnung der didaktischen Grundbegriffe.]

Die Angaben wurden für diese Seite einzeln in Bibliothekskatalogen und bei den Verlagen geprüft, mit zwei Ausnahmen: Bei Zech ist die Auflage aus den Projektunterlagen übernommen, wo sie mit dem Vermerk steht, sie vor der Verwendung zu prüfen; Sharma u. a. (2023) ist ein Preprint und keine begutachtete Veröffentlichung. Zwei Schlüsse dieser Seite gehen über die genannten Quellen hinaus und sind als Entscheidungen dieser Anwendung zu lesen: die Regel, bei einem Fehler die Darstellungsebene zu wechseln, und die Übertragung der Wartezeit nach einer Frage auf ein geschriebenes Gespräch.